62. 不同路径

leetcode 62. 不同路径

题目：62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角。

问总共有多少条不同的路径？

示例1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示:

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

方法一：动态规划

思路：动态规划，状态转移方程为：dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j]，dp[i][j]表示到达i，j位置的不同路径数。
运行数据：执行用时：0 ms，内存消耗：35.6 MB

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(m * n)。
• 空间复杂度：O(m * n)。

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// LeetCode指定调用方法 
public int uniquePaths(int m, int n) {

    int[][] dp = new int[m][n];

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        dp[0][i] = 1;
    }

    for (int i = 1; i < m; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j];
        }
    }

    return dp[m - 1][n - 1];
}

方法二：动态规划(优化空间复杂度)

思路：在思路一的基础上将记录动态规划的二维数组压缩成一维数组，状态转移方程为：dp[j] = dp[j - 1] + dp[j]，dp[j]表示到达第j列的不同路径数。
运行数据：执行用时：0 ms，内存消耗：35.6 MB

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(m * n)。
• 空间复杂度：O(n)。

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// LeetCode指定调用方法 
public int uniquePaths(int m, int n) {

    int[] dp = new int[n];

    Arrays.fill(dp, 1);

    for (int i = 1; i < m; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[j] = dp[j - 1] + dp[j];
        }
    }

    return dp[n - 1];
}

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